MAT.es 2005



Control y Homogeneización en EDP. Aplicaciones


Resúmenes


Sobre un problema de diseño óptimo de forma en conductividad


Jose Carlos Bellido (UCLM)


Resumen

En esta charla analizaremos un problema típico de diseño de forma en conductividad. Comentaremos la relajación de este problema, y mencionaremos las dificultades en la obtención de un resultado general sobre la base de ciertos resultados contenidos en trabajos recientes de homogenización en dominios perforados por M. Briane, en los que se observan interesantes efectos no locales. Analizaremos también la cuestión de si nuestro problema de optimización de forma puede ser ``aproximado'' por problemas de diseó óptimo obtenidos cuando rellenamos los agujeros que queremos diseñar en el problema original por un conductor débil, que hacemos tender a cero.


Correcting terms from local problems for vibrating membranes with concentrated masses


Maria Eugenia Pérez (UC)


Resumen

We consider the asymptotic behavior of a membrane that occupies a domain of the plane and contains one, several or very many small regions where the density is very much higher than elsewhere, the so-called concentrated masses. We show that the structure of the eigenfunctions associated with small eigenvalues of the local problem (large eigenvalues, respectively) is essential in order to describe the asymptotic behavior of the low frequency vibrations of the membrane (high frequency vibrations, respectively). We construct correcting terms for the eigenfunctions associated with the high frequencies.


Derivación y resolución numérica de un modelo macroscópico para un material poroelástico no disipativo


Jose Luis Ferrin (USC)


Resumen

El objetivo que nos planteamos es la derivación del modelo macroscópico que rige el comportamiento de un medio poroso elástico completamente saturado por un fluido perfecto. Para ello se considera la teoría de las pequeñas deformaciones en un esqueleto sólido elástico con una estructura periódica y cuyos poros son de un tamaño característico $\varepsilon$. Esa estructura está completamente saturada por un fluido incompresible y no viscoso. La obtención del modelo que describe el comportamiento macroscópico se tiene en el límitee $\varepsilon \to 0$, y para ello se utiliza la convergencia en dos escalas introducida por Nguetseng. De esta forma se procede a la obtención del modelo de forma rigurosa, pudiendo éste compararse con el modelo clásico de Biot. En la segunda parte, el modelo obtenido se resuelve numéricamente, utilizando para ello el método de los elementos finitos, y se aplica a un problema de interés en el campo de la acústica. De forma más precisa, se calcula la respuesta a una excitación armónica de un recinto tridimensional formado por un fluido y un material poroelástico.


Resultados recientes sobre el control y problemas inversos para las ecuaciones de Stokes, Navier-Stokes y Boussinesq


Enrique Fernández Cara (US)


Resumen

En esta conferencia, se considerará el problema de la controlabilidad exacta a trayectorias de los sistemas de Stokes, Navier-Stokes y Boussinesq. Se presentarán resultados recientes, de carácter local, que proporcionan el control satisfactorio de estos sistemas, eventualmente con un número reducido de controles escalares.También se considerarán problemas inversos de naturaleza geométrica para estas ecuaciones. En este contexto, se probarán resultados de unicidad y de reconstrucción parcial de la solución


Ondas de Bloch y aplicaciones en homogeneización


Rafael Orive Illera (UAM)


Resumen

El autor presenta resultados recientes de homogeneización de EDP desarrollados junto con G. Allaire, C.Conca, M. Vanninanthan y E. Zuazua. La herramienta principal utilizada es la descomposición por ondas de Bloch. Estas son una familia de autofunciones asociadas a ecuaciones diferenciales lineales con coefientes periódicos que permiten una descomposición adecuada de espacios de Hilbert. Gracias a esta decomposición obtenemos nuevos resultados de homogeneización para operadores con potenciales de gran escala, en operadores no-autoadjuntos y resultados de localización en medios periódicos como los cristales fotónicos.


Asymptotic behavior of periodic problems near the boundary


Juan Casado (US)


Resumen

We show how two-scale convergence method can be applied to study the asymptotic behavior near the boundary of the solutions of a linear Dirichlet problem with periodic oscillating coefficients. We get a boundary term which allows us to improve the well known expansion of this problem


Métodos numéricos para la aproximación del control exacto en la ecuación de ondas


Carlos Castro (UPM)


Resumen

La aproximación numérica de problemas de control exacto conduce en general a un sistema discreto mal condicionado. Esto se debe fundamentalmente a la dispersión que introducen los esquemas numéricos para aproximar la ecuación de ondas. Esta dispersión hace que una parte de la solución se propague a una velocidad inferior a la que lo hacen las ondas del problema continuo. Para remediar esto se han introducido diferentes técnicas, basadas fundamentalmente en un adecuado filtrado de las soluciones. En general estas técnicas dan buenos resultados pero resultan costosas y difíciles de generalizar a problemas más sofisticados o dominios irregulares. En esta presentación mostramos un esquema numérico para la ecuación de ondas, basado en una formulación por elementos finitos mixtos, que proporciona un esquema discreto uniformemente controlable y bien condicionado en una y dos dimensiones. Ilustraremos los resultados con experimentos numéricos.


Crecimiento autosimilar de particulas cristalinas


Juan José López Velázquez (UCM)


Resumen

En esta charla se describirán diversos problemas matemáticos relacionados con el crecimiento de particulas cristalinas esféricas en medios sobreenfriados, un fenómeno conocido como envejecimiento de Oswald. Desde el punto de vista matemático las ecuaciones que aparecen en el estudio de este problema son ecuaciones cinéticas que pueden obtenerse a partir del correspondiente modelo microscópico empleando métodos de homogenización. El modelo final resultante se conoce como sistema LSW (Lifshitz-Slyozov-Wagner). Dicho modelo tiene soluciones que se comporta físicamente de una forma que no es la que se espera en las situaciones físicas por lo que se han propuesto varios métodos para tratar de modificar las ecuaciones LSW introduciendo diversos físicos que regularicen las ecuaciones matemáticas. En esta charla se discutirán algunos de dichas regularizaciones y sus consecuencias matemáticas.


Homogenization-based constitutive models for fiber-reinforced elastomers and implications for loss of ellipticity


Pedro Ponte Castañeda y O. Lopez-Pamies (Départament de Mechanique, École Polytechnique, 91128 Palaiseau)


Resumen

This paper presents the application of a recently proposed ``second-order" homogenization method (Ponte Castañeda, P. (2002) ``Second-order homogenization estimates for nonlinear composites incorporating field fluctuations: I-Theory." J. Mech. Phys. Solids 50, 737-757 and Lopez-Pamies, O. and Ponte Castañeda, P. (2003) ``Second-order estimates for the large deformation response of particle-reinforced rubbers". Comptes Rendus Mecanique 331, 1-8) to the estimation of the effective behavior of hyperelastic composites subjected to finite deformations. The key idea is to introduce an optimally chosen ``linear comparison composite," which can then be used to convert available homogenization estimates for linear composites directly into new estimates for the nonlinear hyperelastic composites. More precisely, the method makes use of ``generalized" secant moduli that are intermediate between the standard ``secant" and ``tangent" moduli of the nonlinear phases, and that depend not only on the averages, or first moments of the fields in the phases, but also on the second moments of the field fluctuations, or phase covariance tensors. The method will be applied to fiber-reinforced elastomers, and estimates analogous to the well-known Hashin-Shtrikman for linear-elastic composites will be generated. The implications of the homogenized model for loss of strong ellipticity will be investigated.