Práctica Primera
MATRICES

1.-Introducción de datos en una matriz

RowBox[{RowBox[{RowBox[{1.1, ., -}], )}], Utilizando, , el, , menu, , Input, , la, , opción, , Create, , Table/Matrix/Palette}]

In[1]:=

a1 = (1 2 3 ) ; 4 -3 5 -1 0 2

RowBox[{RowBox[{RowBox[{1.2, ., -}], )}], Mediante, , una, , lista, , de, , vectores}]

In[2]:=

a2 = {{2, 3, 4}, {0, -1, 2}, {2, 4, -1}} ;

RowBox[{RowBox[{RowBox[{1.3, ., -}], )}], Mediante, , la, , orden, , Table}]

In[3]:=

a3 = Table[1/(i + j), {i, 5}, {j, 4}] ;

In[4]:=

a4 = {{1, 0}, {2, 3}, {3, -5}} ;

Poner un ; detrás de la orden hace que no se represente aunque se calcule Cada una de ellas pude mostrarse con la orden MatrixForm en forma de matriz

In[5]:=

MatrixForm[a2]

Out[5]//MatrixForm=

( 2 3 4 ) 0 -1 2 2 4 -1

In[6]:=

MatrixForm[a1]

Out[6]//MatrixForm=

( 1 2 3 ) 4 -3 5 -1 0 2

In[7]:=

MatrixForm[a3]

Out[7]//MatrixForm=

( 1 1 1 1 ) - - - - 2 3 4 5 1 ... - 5 6 7 8 1 1 1 1 - - - - 6 7 8 9

In[8]:=

MatrixForm[a4]

Out[8]//MatrixForm=

( 1 0 ) 2 3 3 -5

2.-Operaciones entre matrices

RowBox[{RowBox[{2.1, ., -Suma}], , de, , matrices : es necesario que sean de la misma dimension}]

In[9]:=

a1 + a2

Out[9]=

{{3, 5, 7}, {4, -4, 7}, {1, 4, 1}}

In[10]:=

MatrixForm[a1 + a2]

Out[10]//MatrixForm=

( 3 5 7 ) 4 -4 7 1 4 1

RowBox[{RowBox[{2.2, ., -Diferencia}], , de, , matrices : del mismo modo que el apartado anterior}]

In[11]:=

a1 - a2

Out[11]=

{{-1, -1, -1}, {4, -2, 3}, {-3, -4, 3}}

In[12]:=

MatrixForm[a1 - a2]

Out[12]//MatrixForm=

( -1 -1 -1 ) 4 -2 3 -3 -4 3

También a la operación a1 + a2 ó a1 - a2 u otra cualquiera, se le puede asignar una variable de modo que no sea necesario repetir la expresión . Por ejemplo : 

In[13]:=

suma = a1 + a2 ; diferencia = a1 - a2 ; MatrixForm[suma] MatrixForm[diferencia]

Out[15]//MatrixForm=

( 3 5 7 ) 4 -4 7 1 4 1

Out[16]//MatrixForm=

( -1 -1 -1 ) 4 -2 3 -3 -4 3

RowBox[{RowBox[{2.3, ., -Producto}], , de, , un, , escalar, , por, , un, , vector}]

In[17]:=

7 a1

Out[17]=

{{7, 14, 21}, {28, -21, 35}, {-7, 0, 14}}

In[18]:=

a1 7

Out[18]=

{{7, 14, 21}, {28, -21, 35}, {-7, 0, 14}}

In[19]:=

7 * a1

Out[19]=

{{7, 14, 21}, {28, -21, 35}, {-7, 0, 14}}

In[20]:=

a1 * 7

Out[20]=

{{7, 14, 21}, {28, -21, 35}, {-7, 0, 14}}

al producto le podíamos asignar una variable, como anteriormente se dijo

In[21]:=

p1 = 7 a1 p2 = a1 7 p3 = 7 * a1 p4 = a1 * 7

Out[21]=

{{7, 14, 21}, {28, -21, 35}, {-7, 0, 14}}

Out[22]=

{{7, 14, 21}, {28, -21, 35}, {-7, 0, 14}}

Out[23]=

{{7, 14, 21}, {28, -21, 35}, {-7, 0, 14}}

Out[24]=

{{7, 14, 21}, {28, -21, 35}, {-7, 0, 14}}

Observe el  espacio en blanco entre 7 y a1 tanto en p1 , como en p2

RowBox[{RowBox[{2.4, ., -Producto}], , de, , matrices}]

Para poder efectuar el producto entre la matriz A y la B, que escribiremos como A . B, el núme ... primer factor ha de ser igual al número de filas del segundo factor, en caso contrario dará error

In[25]:=

a4 . a2

Dot :: dotsh : Tensors {{1, 0}, {2, 3}, {3, -5}} and {{2, 3, 4}, {0, -1, 2}, {2, 4, -1}} have incompatible shapes. More…

Out[25]=

{{1, 0}, {2, 3}, {3, -5}} . {{2, 3, 4}, {0, -1, 2}, {2, 4, -1}}

Vemos que tienen dimensiones incompatibles

In[26]:=

C1 = a2 . a4 MatrixForm[C1]

Out[26]=

{{20, -11}, {4, -13}, {7, 17}}

Out[27]//MatrixForm=

( 20 -11 ) 4 -13 7 17

¿Recuerda cómo se efectúa el producto ? Hágalo a mano y compruebe el resultado

RowBox[{RowBox[{2.5, ., -Potencia}], , de, , una, , matriz}]

Se trata de calcular las potencias enteras positivas de una matriz, es decir calcular A, A^2, A^3, ... ... A^n siendo n un número natural .

In[28]:=

a1^4

Out[28]=

{{1, 16, 81}, {256, 81, 625}, {1, 0, 16}}

In[29]:=

a1 . a1 . a1 . a1

Out[29]=

{{31, -130, 105}, {-320, 327, -121}, {5, -24, -70}}

In[30]:=

a1 a1 a1 a1

Out[30]=

{{1, 16, 81}, {256, 81, 625}, {1, 0, 16}}

In[31]:=

MatrixPower[a1, 4]

Out[31]=

{{31, -130, 105}, {-320, 327, -121}, {5, -24, -70}}

¿Ve la diferencia de lo que hacen cada una de las expresiones ?

RowBox[{RowBox[{2.6, ., -Traspuesta}], , de, , una, , matriz}]

Trasponer una matriz es obtener otra, cambiando las filas por columnas

In[32]:=

MatrixForm[a4] a5 = Transpose[a4] MatrixForm[a5]

Out[32]//MatrixForm=

( 1 0 ) 2 3 3 -5

Out[33]=

{{1, 2, 3}, {0, 3, -5}}

Out[34]//MatrixForm=

( 1 2 3 ) 0 3 -5

RowBox[{RowBox[{2.7, ., -Inversa}], , de, , una, , matriz}]

Inversa de una matriz cuadrada es aquella matriz que multiplicada por ella, tanto por la izquierda como por la derecha, da la matriz identidad . A . A^(-1) = A^(-1) . A = I

In[35]:=

a1 ; inversadea1 = Inverse[a1] ; a1 . inversadea1 ; inversadea1 . a1 ; MatrixForm[a1] MatrixForm[inversadea1] MatrixForm[a1 . inversadea1] MatrixForm[inversadea1 . a1]

Out[39]//MatrixForm=

( 1 2 3 ) 4 -3 5 -1 0 2

Out[40]//MatrixForm=

( 6 4 19 ) -- -- --- 41 41 41 ... 41 41 41 3 2 11 -- -- -- 41 41 41

Out[41]//MatrixForm=

( 1 0 0 ) 0 1 0 0 0 1

Out[42]//MatrixForm=

( 1 0 0 ) 0 1 0 0 0 1

RowBox[{RowBox[{2.8, ., -Determinante}], , de, , una, , matriz, , cuadrada}]

¿Podría recordar la definición de determinante de una matriz cuadrada ?

In[43]:=

determinante = Det[a1]

Out[43]=

-41

3.-Rango de una matriz

Se define el rango de una matriz como el máximo número de filas linealmente independientes¿es correcto ? ¿matizaría ud . algo más ?

RowBox[{RowBox[{3.1, ., -Una}], , de, , las, , maneras, , de, , determinar, , el, , ran ... el, , orden, , máximo, , de, , las, , submatrices, , con, , determinante, , no, , nulo}]

Ejemplo :

In[44]:=

matriz = Table[i + j, {i, 5}, {j, 3}] ; MatrixForm[matriz]

Out[45]//MatrixForm=

( 2 3 4 ) 3 4 5 4 5 6 5 6 7 6 7 8

La orden Minors[matriz, orden], produce todos los menores de la matriz indicada y del orden correspondiente

¿Cuántos menores de orden 3 puedes obtener de la matriz, llamada matriz ?

In[46]:=

Minors[matriz, 3]

Out[46]=

{{0}, {0}, {0}, {0}, {0}, {0}, {0}, {0}, {0}, {0}}

RowBox[{La respuesta es que todos los menores son todos nulos, ,, RowBox[{luego, , el, , orden, , no, , puede, , ser, , 3.}]}]

In[47]:=

Minors[matriz, 2]

Out[47]=

{{-1, -2, -1}, {-2, -4, -2}, {-3, -6, -3}, {-4, -8, -4}, {-1, -2, -1}, {-2, -4, -2}, {-3, -6, -3}, {-1, -2, -1}, {-2, -4, -2}, {-1, -2, -1}}

Como no todos son nulos, de hecho no hay ninguno, el orden es 2 y por tanto ese es también el rango de esta matriz

RowBox[{RowBox[{RowBox[{RowBox[{RowBox[{RowBox[{3.2, ., -Otro}], , metodo, , es, , el, , d ... p;     Cambiar la fila que ocupa el lugar i, por la que ocupa el lugar j

b) Multiplicar a una fila por un número H_ (i (k)) es decir a la fila i se la multiplica por un número k

c) A la fila i se le suma la j multiplicada por un número H_ (i + j (k))

In[48]:=

matrizreducida = RowReduce[matriz] ; MatrixForm[matrizreducida]

Out[49]//MatrixForm=

( 1 0 -1 ) 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Observamos que las filas 3, 4 y 5, son todas nulas, es decir combinaciones lineales de las 2 primeras, luego el rango es 2

Created by Mathematica  (January 28, 2004)