02_1_espacios_vectoriales.nb

Práctica Segunda(Primera parte)
ESPACIOS VECTORIALES
Trabajaremos en

1º Problema

Consiste en determinar si un vector, es combinación lineal de un conjunto de vectores S

Los datos del problema son, un vector v y un conjunto de vectores S ambos de IR^4

In[1]:=

v = {1, 2, 3, 4} ; S = {{1, 0, 0, 0}, {1, -1, 0, 1}, {0, 1, -1, 2}, {1, 0, -1, 4}} ;

¿Cómo expresamos que v es combinación lineal de los vectores de S ?

In[3]:=

incognitas = {a, b, c, d} ; sistema = vTranspose[S] . incognitas

Out[4]=

In[5]:=

sistema1 = LogicalExpand[sistema] Solve[sistema1, incognitas]

Out[5]=

Out[6]=

Como los valores no son todos nulos, el vector v depende linealmente de S

In[7]:=

Out[7]=

2º Problema

¿Son los vectores de un conjunto S, linealmente independientes ? Para ello será necesario y su ... nulo se expresase como combinación lineal de ellos, todos los coeficientes sería nulos

Utilizaremos el mismo conjunto S, que en el problma anterior, por lo que no es necesario introducirlo de nuevo

In[8]:=

v = {0, 0, 0, 0} ; sistema2 = vTranspose[S] . incognitas Solve[sistema2, incognitas]

Out[9]=

Out[10]=

3º Problema

¿Es un conjunto de vectores T, un sistema de generadores del espacio en el que estamos trabajando ?

In[11]:=

Para ello debemos probar que un vector genérico u de IR^4es combinación lineal de los vectores de T

In[12]:=

u = {x, y, z, t} ; incognitas3 = {a, b, c, d} ; sistema3 = uTranspose[T] . incognitas3 Solve[sistema3, incognitas3]

Out[14]=

Out[15]=

El sistema tiene solución vacía, por lo tanto T no es un sistema de generadores . Si cambiamos T por T1, veamos lo que ocurre

In[16]:=

In[17]:=

u = {x, y, z, t} ; incognitas3 = {a, b, c, d} ; sistema3 = uTranspose[T1] . incognitas3 Solve[sistema3, incognitas3]

Out[19]=

Out[20]=

{{a -1/3 (t - 3 x + y + 3 z), b -1/3 (-t - y - 3 z), c -1/3 (-t + 2 y + 3 z), dy + z}}

4.-Problema

Si T1 es un sistema de generadores y contiene 4 vectores y el espacio es IR^4, ¿Será una base ?

In[21]:=

Out[21]=

¿Podríamos saber las coordenadas de un vector cualquiera, respecto de esta base ?

In[22]:=

coordenadas = {a1, a2, a3, a4} vector = {v1, v2, v3, v4} solucion = Solve[Transpose[T1] . coordenadasvector, coordenadas]

Out[22]=

Out[23]=

Out[24]=

{{a1 -1/3 (-3 v1 + v2 + 3 v3 + v4), a2 -1/3 (-v2 - 3 v3 - v4), a3 -1/3 (2 v2 + 3 v3 - v4), a4v2 + v3}}

In[25]:=

Out[25]=

{-1/3 (-3 v1 + v2 + 3 v3 + v4), -1/3 (-v2 - 3 v3 - v4), -1/3 (2 v2 + 3 v3 - v4), v2 + v3}

5.-Problema

Primer método : dado un conjunto de vectores, calcular el subespacio vectorial que genera, calculando una base y sus ecuaciones paramétricas e ímplicitas .

In[26]:=

conjunto = {{-5, 4, 1, 2}, {2, 5, -1, -2}, {-1, 3, 4, 4}, {-13, 6, 19, 22}} ;

In[27]:=

Out[27]=

In[28]:=

Out[28]//MatrixForm=

( 3 ) --- 1 0 ... 0 1 0 11 0 0 1 1 0 0 0 0

El rango es tres, luego los tres primeros vectores forman una base de este subespacio vectorial

In[29]:=

Out[29]=

In[30]:=

In[32]:=

In[33]:=

Out[33]=

{c1, c2, c3, c4}  {-5 p1 + 2 p2 - p3, 4 p1 + 5 p2 + 3 p3, p1 - p2 + 4 p3, 2 p1 - 2 p2 + 4 p3}

In[34]:=

Out[34]=

-5 p1 + 2 p2 - p3c1&&4 p1 + 5 p2 + 3 p3c2&&2 p1 - 2 p2 + 4 p3c4&&p1 - p2 + 4 p3c3

In[35]:=

Out[35]=

In[36]:=

Out[36]=

In[37]:=

Out[37]=

In[38]:=

Out[38]=

In[39]:=

Out[39]=

6.-Problema

Dado un subespacio vectorial por sus ecuaciones implicitas, hallar una base

In[40]:=

ecuacionesimplicitas = {x - y + z - t + r0, 2x + 5y - 4z + 3t + 2r0} ; coordenadas = {x, y, z, t, r} ; solucion = Solve[ecuacionesimplicitas, coordenadas]