06_diagonalizacion.nb

Práctica Sexta
DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES

1.-Dada una matriz,calcular sus autovalores y sus autovectores

Borramos previamente de la memoria, todas las variables existentes

In[1]:=

In[2]:=

B = (2 0 0 0 0 0 ) 2 4 0 0 0 -4 0 0 3 0 ... -1 0 0 3 0 0 2 0 0 0 4 -2 0 0 0 0 0 2

Out[2]=

{{2, 0, 0, 0, 0, 0}, {2, 4, 0, 0, 0, -4}, {0, 0, 3, 0, 0, 0}, {-1, 0, 0, 3, 0, 0}, {2, 0, 0, 0, 4, -2}, {0, 0, 0, 0, 0, 2}}

RowBox[{RowBox[{1.1, ., -Primero}], , calculamos, , el, , polinomio, , característico, , y, , luego, , lo, , anulamos}]

In[3]:=

In[4]:=

Out[4]=

Calculemos las raíces de este polinomio, que serán los autovalores o valores propios o valores característicos

In[5]:=

Out[5]=

RowBox[{RowBox[{RowBox[{1.2, ., -Calculemos}], , los, , autovectores}], ,, para cada uno de los autovalores}]

In[6]:=

Clear["Global'*"] x = {x1, x2, x3, x4, x5, x6} ; solucion = Solve[(B - 2 IdentityMatrix[6]) . x0, x]

$Solve :: svars : Equations may not give solutions for all \"solve\" variables. More…$

Out[8]=

Nos dice que el sistema es indeterminado y que lo resuelve en función de x5, y x6

In[9]:=

Out[9]=

In[10]:=

parametros = {x5, x6} ; base = Table[Table[Coefficient[v[[j]], parametros[[i]]], {j, Length[v]}], {i, Length[parametros]}]

Out[11]=

In[12]:=

u1 = base[[1]] u2 = base[[2]]

Out[12]=

Out[13]=

In[14]:=

Clear["Global'*"] x = {x1, x2, x3, x4, x5, x6} ; solucion = Solve[(B - 4 IdentityMatrix[6]) . x0, x]

$Solve :: svars : Equations may not give solutions for all \"solve\" variables. More…$

Out[16]=

Nos dice que el sistema es indeterminado y que lo resuelve en función de x2, y x5

In[17]:=

Out[17]=

In[18]:=

parametros = {x2, x5} ; base = Table[Table[Coefficient[w[[j]], parametros[[i]]], {j, Length[v]}], {i, Length[parametros]}]

Out[19]=

In[20]:=

u3 = base[[1]] u4 = base[[2]]

Out[20]=

Out[21]=

In[22]:=

Clear["Global'*"] x = {x1, x2, x3, x4, x5, x6} ; solucion = Solve[(B - 3 IdentityMatrix[6]) . x0, x]

$Solve :: svars : Equations may not give solutions for all \"solve\" variables. More…$

Out[24]=

Nos dice que el sistema es indeterminado y que lo resuelve en función de x3, y x4

In[25]:=

Out[25]=

In[26]:=

parametros = {x3, x4} ; base = Table[Table[Coefficient[t[[j]], parametros[[i]]], {j, Length[v]}], {i, Length[parametros]}]

Out[27]=

In[28]:=

u5 = base[[1]] u6 = base[[2]]

Out[28]=

Out[29]=

Tenemos ya los autovectores para cada uno de los autovalores, que son los tres dobles y por tanto cada uno de los subespacios engendrados es de dimensión 2

2.-¿Es diagonalizable?

Diremos que una matriz B, es diagonalizable si existe una matriz P . llamada de paso de manera que siendo regular, se cumpla que

B = P . Λ . P^(-1) o despejando Λ Λ = P^(-1) . B . P

la matriz Λ es la matriz diagonal de los autovalores de la matriz B

Si existe la matriz de paso es la formada por la traspuesta de los autovectores de la matriz B

In[30]:=

Out[30]=

{{-1, 1, 0, 0, 0, 0}, {1, 1, 1, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 0, 1, 0}, {-1, 1, 0, 0, 0, 1}, {1, 0, 0, 1, 0, 0}, {0, 1, 0, 0, 0, 0}}

In[31]:=

Out[31]=

{{2, 0, 0, 0, 0, 0}, {0, 2, 0, 0, 0, 0}, {0, 0, 4, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 4, 0, 0}, {0, 0, 0, 0, 3, 0}, {0, 0, 0, 0, 0, 3}}

In[32]:=

Out[32]//MatrixForm=

( 2 0 0 0 0 0 ) 0 2 0 0 0 0 0 0 ... 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 3

3.-Otra manera de resolverlo

In[33]:=

Out[33]=

In[34]:=

Out[34]=

{{0, 0, 0, 0, 1, 0}, {0, 1, 0, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 1, 0, 0}, {0, 0, 1, 0, 0, 0}, {1, 1, 0, 1, 0, 1}, {-1, 1, 0, -1, 1, 0}}

In[35]:=

Out[35]=

{{0, 0, 0, 0, 1, -1}, {0, 1, 0, 0, 1, 1}, {0, 0, 0, 1, 0, 0}, {0, 0, 1, 0, 1, -1}, {1, 0, 0, 0, 0, 1}, {0, 0, 0, 0, 1, 0}}

In[36]:=

Out[36]//MatrixForm=

( 4 0 0 0 0 0 ) 0 4 0 0 0 0 0 0 ... 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 2

4.-Otra manera

In[37]:=

Out[37]=

In[38]:=

Out[38]=

In[39]:=

Out[39]=

In[40]:=

Out[40]=

{{0, 0, 0, 0, 0, 1}, {1, 0, 0, 0, 0, 0}, {-1, 0, 0, 1, 0, 0}, {0, 0, 1, 0, 0, 0}, {-1, -1, 0, 0, 0, 2}, {1, -1, 0, 0, 2, 0}}

In[41]:=

Out[41]=

{{2, 0, 0, 0, 0, 0}, {0, 2, 0, 0, 0, 0}, {0, 0, 3, 0, 0, 0}, {0, 0, 0, 3, 0, 0}, {0, 0, 0, 0, 4, 0}, {0, 0, 0, 0, 0, 4}}

5.-¿Cuándo entoces es diagonalizable una matriz real de orden n x n?

Si y sólo si tiene n autovalores y la multiplicidad de cada uno de ellos coincide con la dimensión del subespacio vectorial asociado

Además, como caso particular, toda matriz real simétrica es diagonalizable

Created by Mathematica (January 28, 2004)