04_aplicacion-lineal.nb

Práctica Cuarta
MATRICES Y APLICACIONES LINEALES

1.-Aplicacione lineales y matrices

RowBox[{RowBox[{1.1, ., -Toda}], , aplicación, , lineal, , se, , representa, , por, , una, , matriz, , y, , toda, , matriz, , representa, , a, , una, , aplicación, , lineal .}]

Una misma aplicación lineal puede tener expresiones matriciales distintas en función de las bases elegidas

Vamos a ver un ejemplo de una aplicación lineal f : R^3R^4 definida de la siguiente manera

In[1]:=

$f[{x_, y_, z_}] := {x - y, x - z, 0, x}$

¿Pero es lineal ? Para que esto ocurra tiene que suceder que la imagen de una combinación lineal de vectores, sea la combinación lineal de las imágenes

In[2]:=

u = {u1, u2, u3} ; v = {v1, v2, v3} ; uno = a f[u] + b f[v] ; dos = f[a u + b v] ; Simplify[uno - dos]

Out[6]=

Consideremos las bases canónicas en los respectivos espacios

In[7]:=

A1 = IdentityMatrix[3] ; A2 = {{1, 0, 0, 0}, {0, 1, 0, 0}, {0, 0, 1, 0}, {0, 0, 0, 1}} ;

¿Cuál es la matriz que caracteriza a esta aplicación lineal ?

In[9]:=

matrizf = {} ; For[i = 1, i≤3, i ++, AppendTo[matrizf, f[A1[[i]]]]] ; matrizf = Transpose[matrizf] ; MatrixForm[matrizf]

Out[12]//MatrixForm=

( 1 -1 0 ) 1 0 -1 0 0 0 1 0 0

In[13]:=

Out[13]=

In[14]:=

Out[14]=

In[15]:=

$g[{x_, y_}] := {x + y, x - y, x}$

In[16]:=

B1 = {{1, 0}, {1, 1}} ; B2 = {{1, 0, 1}, {0, 1, 1}, {1, 1, 0}} ;

¿Cuál será la expresion matricial de la aplicación lineal en función de estas bases ?

In[18]:=

Out[18]=

In[19]:=

Out[19]=

In[20]:=

$General :: spell1 : Possible spelling error: new symbol name \"matriz\" is similar to existing symbol \"matrizf\". More…$

Out[20]=

{{1/2, 3/2}, {1/2, -1/2}, {1/2, 1/2}}

In[21]:=

Out[21]//MatrixForm=

( 1 3 ) - - 2 2 1 1 - -- 2 2 1 1 - - 2 2

In[22]:=

Out[22]=

{v1/2 + (3 v2)/2, v1/2 - v2/2, v1/2 + v2/2}

In[23]:=

Out[23]=

{1/2, 1/2, 1/2}

In[24]:=

Out[24]=

2.-Núcleo e imagen de una aplicación lineal

In[25]:=

Out[25]//MatrixForm=

( 1 3 ) - - 2 2 1 1 - -- 2 2 1 1 - - 2 2

In[26]:=

Out[26]=

¿Que quiere decir ? Que el núcleo de la aplicación lineal es el vector nulo

Un sistema de generadores de la imagen de una aplicación lineal es la matriz formada por las columnas de la matriz que la representa

In[27]:=

Out[27]=

{{1/2, 1/2, 1/2}, {3/2, -1/2, 1/2}}

In[28]:=

Out[28]=

{{1, 0, 1/2}, {0, 1, 1/2}}

In[29]:=

parametros = {a, b} ; coordenadas = {x, y, z} ; parametricasImagen = LogicalExpand[coordenadas ... spose[generadorImagen] . parametros] implicitasImagen = Eliminate[parametricasImagen, parametros]

Out[31]=

xa/2 + (3 b)/2&&ya/2 - b/2&&za/2 + b/2

Out[32]=

In[33]:=

Out[33]=

In[34]:=

Out[34]=

3.-Imagen de un subespacio vectorial

In[35]:=

matrizj = {{1, 0, 0, 1, 0}, {1, -1, 0, 0, 1}, {1, -1, 0, 0, 0}} ;

$General :: spell : Possible spelling error: new symbol name \"matrizj\" is similar to existing symbols {matriz, matrizf} . More…$

Queremos hallar la imagen del subespacio U dado por las siguientes ecuaciones ímplicitas

In[36]:=

In[37]:=

coordU = {x, y, z, t, w} ; parametricasU = Solve[implicitasU, coordU]

$Solve :: svars : Equations may not give solutions for all \"solve\" variables. More…$

Out[38]=

In[39]:=

Out[39]=

In[40]:=

parametros = {t, w} ; baseU = Table[Table[Coefficient[vectorU[[j]], parametros[[i]]], {j, Length[vectorU]}], {i, Length[parametros]}]

Out[41]=

El sistema generador del subespacio imagen se halla calculando la imagen de cada uno de los vectores anteriores

In[42]:=

Out[42]=

In[43]:=

coordV = {x, y, z} ; paramV = {a, b} ; parametricasV = LogicalExpand[coordVTranspose[generadorV] . paramV] implicitasV = Eliminate[parametricasV, paramV]

$General :: spell1 : Possible spelling error: new symbol name \"coordV\" is similar to existing symbol \"coordU\". More…$

$General :: spell1 : Possible spelling error: new symbol name \"parametricasV\" is similar to existing symbol \"parametricasU\". More…$

Out[45]=

$General :: spell1 : Possible spelling error: new symbol name \"implicitasV\" is similar to existing symbol \"implicitasU\". More…$

Out[46]=

Created by Mathematica (January 28, 2004)