Análisis de condiciones de bifurcación no estandar en sistemas dinámicos continuos
Estado Finalizada
Trabajo fin de master y Tesis doctoral
Director UCLM
Alumno
Martínez Plaza, Antonio
Resumen

Según Guckenheimer y Holmes (1983), "el que existan (identificables) tipos de bifurcaciones que aparecen repetidamente en diversos problemas es particularmente interesante, de modo que sería ideal obtener una clasificación de las bifurcaciones la cual produzca una lista específica de posibilidades para cada ejemplo.''

 

Es éste el principal objetivo que se ha perseguido, proporcionando nuevas situaciones de ausencia de estabilidad estructural a nivel local en familias uniparamétricas de sistemas continuos, para las que se producen algunas de las bifurcaciones locales más comunes. En particular, se obtienen nuevas condiciones suficientes de mayor orden que garantizan la presencia de cada una de las bifurcaciones locales clásicas y que llamaremos condiciones de no degeneración no estándar o de orden superior. De ello se infieren nuevas formas normales también de mayor orden, que permiten determinar las familias más simples que presentan estos tipos de bifurcación.

 

Así mismo, se analizan las situaciones en que las condiciones de no degeneración no estándar no se dan. De ello se deducen no solamente nuevos tipos de bifurcación, sino también casos en los que, aún con la presencia de puntos de equilibrio no hiperbólicos, no se produce una variación ni en el número ni en la estabilidad de los puntos de equilibrio, cuando el parámetro que determina la familia varía.

 

Por último, con el fin de completar este estudio, se analiza qué ocurre cuando las derivadas parciales sucesivas con respecto a la variable de estado, que representan condiciones de no degeneración para la aparición de bifurcaciones, son todas iguales a cero al ser evaluadas en el punto de bifurcación. Además se establecen nuevas condiciones de transversalidad, bajo las cuales se sigue teniendo la presencia de las bifurcaciones ya mencionadas.

 

Los resultados del trabajo han dado lugar a diversos artículos que han sido publicados por revistas internacionales del índice JCR (ISI). En concreto, ``Local bifurcations of one-dimensional continuous dynamical systems under higher order conditions'', publicado en Appl. Math. Lett. 23, pp. 220-234; ``Local stabilility of contiuous dynamical systems in presence of non hyperbolic equilibria'', publicado en Int. J. Bif. Chaos 19 (3), pp. 1051--1057; y ``Bifurcations of continuous dynamical systems under extreme and new transversality conditions'', publicado en Appl. Math. Comput. 210, pp. 33--38.