Modelos de dinámica de poblaciones migratorias con factores de reclutamiento, depresación y captura
Estado Finalizada
Trabajo fin de master y Tesis doctoral
Director UCLM
Resumen

En este trabajo se proporcionan modelos de dinámica de poblaciones migratorias que cubren carencias de los modelos planteados hasta el momento. Asimismo, se realiza el estudio de la dinámica cualitativa de estos modelos dados por sistemas de ecuaciones diferenciales no lineales, empleando elementos de la teoría de sistemas dinámicos y sus bifurcaciones. Al mismo tiempo, simulaciones numéricas producidas mediante la variación de los parámetros poblacionales, obtenidos de datos estadísticos sobre el estado de la pesca de algunas especies de peces de los géneros Prochilodus y Pseudoplatystoma en las cuencas del Orinoco y  Magdalena en Colombia, muestran diferentes escenarios de la dinámica de los modelos propuestos, que permiten validarlos.

 

En concreto, se modela y se estudia analíticamente la dinámica cualitativa de una especie migratoria con factores de reclutamiento y captura, considerando un desarrollo de la especie diferenciado en dos etapas. Se muestra cómo la dinámica está determinada por un parámetro umbral básico R. Como resultado más importante, en virtud del teorema de Lyapunov-LaSalle, se prueba que si R es menor o igual que uno, entonces el punto de equilibrio de extinción es globalmente asintóticamente estable, lo que asegura que la especie podría desaparecer bajo ésta condición sean cuales sean los tamaños iniciales de la población. Además, gracias al teorema de Poincarè-Bendixson, se demuestra que si R>1, la solución converge a un punto de equilibrio no trivial, lo que significa que la población tiende a ser estable. Otro resultado importante, desde el punto de vista matemático, es que el modelo sufre una bifurcación transcrítica en el valor umbral R=1. Simulaciones numéricas, producidas mediante la variación de los parámetros obtenidos desde datos empíricos correspondientes a dos especies del género Prochilodus que habitan en las cuencas del Orinoco y el Magdalena en Colombia, muestran diferentes situaciones con respecto a la evolución de la población y permiten validar el modelo. A continuación se mejora el modelo, incluyendo la interacción con otra especie, que también puede ser capturada, y que ocupa el mismo hábitat, siendo ésta última especie depredadora de la primera y constituyendo así un sistema presa-depredador y se realiza un estudio analítico de numérico de dicho modelo. Finalmente, se proporciona un modelo matemático más general para un sistema presa-depredador con factores de reclutamiento y captura en ambas especies y se analiza su dinámica cualitativa. Este modelo general incorpora un crecimiento de las poblaciones basado en una forma genérica de reclutamiento y de respuesta funcional del depredador, así como la captura de presas y depredadores con una tasa proporcional a la densidad de sus poblaciones, respectivamente. En este nuevo contexto, se prueba que la dinámica está determinada por un parámetro umbral que ahora es bidimensional.

 

Además, el trabajo proporciona una herramienta computacional construida para la simulación y el análisis numérico de sistemas dinámicos discretos, continuos y estocásticos. Esta herramienta, denominada DSamala Toolbox, constituye un aporte significativo para el estudio numérico no sólo de los modelos poblacionales proporcionados en éste trabajo, sino también para otros sistemas dinámicos cuando las ecuaciones que los modelan son difíciles o imposibles de estudiar analíticamente.

 

Los resultados del trabajo han dado lugar a diversos artículos que han sido publicados por revistas internacionales del índice JCR (ISI).  En concreto, “Dsamala toolbox: software for the analysis and simulation of discrete, continuous and stochastic dynamical systems”, publicado en Ing. Invest. 32, pp. 51—57; “Population dynamics of a two-stage species with recruitment”, publicado en Math. Methods Appl. Sci36, pp. 722—729; y “Population dynamics of a two-stage migratory species with predation and capture”, publicado en Nonlinear Anal.-Real World Appl. 16, pp. 27—39.